9.10 数组排序

原文:Sorting Arrays

译者:飞龙

协议:CC BY-NC-SA 4.0

本节是《Python 数据科学手册》(Python Data Science Handbook)的摘录。

到目前为止,我们主要关注使用 NumPy 访问和操作数组数据的工具。本节介绍与 NumPy 数组中的值的排序相关的算法。

这些算法是计算机科学入门课程中最受欢迎的主题:如果你曾经上过这些课,你可能对插入排序,选择排序,归并排序,快速排序,冒泡排序,甚至更多的东西,有一些回忆(或者是噩梦,取决于你的性格)。

所有这些都是完成类似任务的方法:对列表或数组中的值排序。例如,简单的选择排序重复查找列表中的最小值,并进行交换直到列表是有序的。我们可以在几行 Python 中编写代码:

import numpy as np

def selection_sort(x):
    for i in range(len(x)):
        swap = i + np.argmin(x[i:])
        (x[i], x[swap]) = (x[swap], x[i])
    return x

x = np.array([2, 1, 4, 3, 5])
selection_sort(x)

# array([1, 2, 3, 4, 5])

正如任何计算机科学专业的一年级学生都会告诉你的那样,出于它的简单性,选择排序很有用,但是对于较大的数组来说太慢了。对于N个元素的列表,它需要N个循环,每个循环都执行大约N个比较,来查找要交换的值。

就通常用于表示这些算法的“大 O”记号而言(参见“大 O 记号”),选择排序平均是O(n^2)的:如果你将列表中的项目数加倍,执行时间将增加大约四倍。

尽管选择排序比我最喜欢的排序算法,bogosort要好得多:

def bogosort(x):
    while np.any(x[:-1] > x[1:]):
        np.random.shuffle(x)
    return x

x = np.array([2, 1, 4, 3, 5])
bogosort(x)

# array([1, 2, 3, 4, 5])

这种愚蠢的排序方法纯粹依赖于机会:它反复应用数组的随机打乱,直到结果是有序的。平均规模为O(n * n!),这显然应该永远不会用于任何实际计算。

幸运的是,Python包含内置的排序算法,这些算法比刚刚展示的任何简单算法都高效得多。 我们将首先查看 Python 内置函数,然后查看 NumPy 中包含的,并针对 NumPy 数组优化的例程。

NumPy 中的快速排序:np.sortnp.argsort

尽管 Python 内置了sortsorted函数来处理列表,但我们不会在这里讨论它们,因为 NumPy 的np.sort函数效率更高,对于我们的目的更有用。

默认情况下,np.sort使用O(nlogn)的快速排序算法,但归并排序和堆排序也可用。 对于大多数应用程序,默认的快速排序绰绰有余。

x = np.array([2, 1, 4, 3, 5])
np.sort(x)

# array([1, 2, 3, 4, 5])

如果你希望对数组原地排序,则可以使用数组的sort方法:

x.sort()
print(x)

# [1 2 3 4 5]

相关函数是argsort,它返回已排序元素的下标:

x = np.array([2, 1, 4, 3, 5])
i = np.argsort(x)
print(i)

# [1 0 3 2 4]

此结果的第一个元素给出最小元素的索引,第二个值给出第二小元素的索引,依此类推。然后,如果需要,可以使用这些索引(通过花式索引)构造有序数组:

x[i]

# array([1, 2, 3, 4, 5])

沿行或列的排序

NumPy 排序算法的一个有用特性是,能够使用axis参数来排序多维数组的特定行或列。例如:

rand = np.random.RandomState(42)
X = rand.randint(0, 10, (4, 6))
print(X)

'''
[[6 3 7 4 6 9]
 [2 6 7 4 3 7]
 [7 2 5 4 1 7]
 [5 1 4 0 9 5]]
'''

# 排序 X 的每一列
np.sort(X, axis=0)

'''
array([[2, 1, 4, 0, 1, 5],
       [5, 2, 5, 4, 3, 7],
       [6, 3, 7, 4, 6, 7],
       [7, 6, 7, 4, 9, 9]])
'''

# 排序 X 的每一行
np.sort(X, axis=1)

'''
array([[3, 4, 6, 6, 7, 9],
       [2, 3, 4, 6, 7, 7],
       [1, 2, 4, 5, 7, 7],
       [0, 1, 4, 5, 5, 9]])
'''

请记住,这会将每个行或列视为一个独立的数组,并且行或列值之间的任何关系都将丢失!

部分排序:分区

有时我们对排序整个数组不感兴趣,但只想在数组中找到k个最小值。 NumPy 在np.partition函数中提供了它。np.partition接受一个数组和一个数字K;结果是一个新数组,最小的K个值在分区左边,任意顺序的剩下的值在右边:

x = np.array([7, 2, 3, 1, 6, 5, 4])
np.partition(x, 3)

# array([2, 1, 3, 4, 6, 5, 7])

请注意,结果数组中的前三个值是数组中的三个最小值,其余数组位置包含其余值。在这两个分区中,元素具有任意顺序。

与排序类似,我们可以沿多维数组的任意轴进行分区:

np.partition(X, 2, axis=1)

'''
array([[3, 4, 6, 7, 6, 9],
       [2, 3, 4, 7, 6, 7],
       [1, 2, 4, 5, 7, 7],
       [0, 1, 4, 5, 9, 5]])
'''

结果是一个数组,其中每行中的前两个槽包含该行中的最小值,其余值填充剩余的槽。

最后,就像计算有序索引的np.argsort一样,np.argpartition来计算分区的索引。我们将在下一节中看到它。

示例:K 最近邻

让我们快速了解如何沿着多个轴使用这个argsort函数,来查找集合中每个点的最近邻居。我们首先在二维平面上创建一组 10 个随机点。使用标准惯例,我们将在10x2数组中存放它们:

X = rand.rand(10, 2)

为了了解这些点的外观,让我们快速绘制散点图:

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn; seaborn.set() # 绘图风格
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=100);

png

现在我们将计算每对点之间的距离。回想一下,两点之间的平方距离是每个维度的平方差的总和;使用由 NumPy 提供的,高效广播(“数组计算:广播”)和聚合(“聚合:最小值,最大值和之间的一切”)的例程,我们可以在一行代码中计算平方距离矩阵:

dist_sq = np.sum((X[:, np.newaxis, :] - X[np.newaxis, :, :]) ** 2, axis=-1)

这个操作有很多内容,如果你不熟悉 NumPy 的广播规则,可能会有点混乱。 当你遇到这样的代码时,将其分解为子步骤会很有用:

# 对于每一对点
# 计算坐标的差
differences = X[:, np.newaxis, :] - X[np.newaxis, :, :]
differences.shape

# (10, 10, 2)

# 计算坐标的差
sq_differences = differences ** 2
sq_differences.shape

# (10, 10, 2)

# 对坐标差求和来获取距离平方
dist_sq = sq_differences.sum(-1)
dist_sq.shape

# (10, 10)

为了仔细检查我们正在做什么,我们应该看到这个矩阵的对角线(即每个点和它自身之间的距离)都是零:

dist_sq.diagonal()

# array([ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.])

就是这样!使用转换的成对的平方距离,我们现在可以使用np.argsort对每行排序。 最左边的列将给出最近邻居的索引:

nearest = np.argsort(dist_sq, axis=1)
print(nearest)

'''
[[0 3 9 7 1 4 2 5 6 8]
 [1 4 7 9 3 6 8 5 0 2]
 [2 1 4 6 3 0 8 9 7 5]
 [3 9 7 0 1 4 5 8 6 2]
 [4 1 8 5 6 7 9 3 0 2]
 [5 8 6 4 1 7 9 3 2 0]
 [6 8 5 4 1 7 9 3 2 0]
 [7 9 3 1 4 0 5 8 6 2]
 [8 5 6 4 1 7 9 3 2 0]
 [9 7 3 0 1 4 5 8 6 2]]
'''

请注意,第一列按顺序给出数字 0 到 9:这是因为每个点的最近邻居就是它自己,这就是我们所期望的。

通过在这里使用完整的排序,在这种情况下,我们实际上完成的工作比我们需要的更多。 如果我们只是对最近的k个邻居感兴趣,我们所需要的就是对每一行进行分区,以便最小的k + 1个平方距离首先出现,更大的距离填充数组的剩余位置。 我们可以使用np.argpartition函数执行此操作:

K = 2
nearest_partition = np.argpartition(dist_sq, K + 1, axis=1)

为了可视化这个邻居网络,让我们快速绘制点和线,它表示从每个点到其两个最近邻居的连接:

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=100)

# 绘制每个点到它的两个最近邻的直线
K = 2

for i in range(X.shape[0]):
    for j in nearest_partition[i, :K+1]:
        # 绘制 X[i] 到 X[j] 的直线
        # 使用一些 zip 魔法来实现
        plt.plot(*zip(X[j], X[i]), color='black')

png

图中的每个点都有到两个最近邻居的绘制的线。看一眼,有些点有两条以上的线可能看起来很奇怪:这是因为如果 A 是 B 的两个最近邻之一,这并不一定意味着 B 是 A 的两个最近邻点之一。

虽然这种方法的广播和逐行排序,可能看起来不像编写循环那么简单,但事实证明,这是在 Python 中对这些数据进行操作的一种非常有效的方法。

你可能会尝试通过手动循环数据,并单独对每组邻居进行排序,来执行相同类型的操作,但这几乎肯定会产生比我们使用的向量化版本更慢的算法。 这种方法的优点在于,它的编写方式与输入数据的大小无关:我们可以在任意数量的维度中轻松计算 100 或 1,000,000 个点的邻居,并且代码看起来相同。

最后,我会注意到,在进行非常大的最近邻搜索时,有基于树的算法和/或近似算法,可以变为O(nlogn)或更好,而不是O(n^2)的暴力算法。 其中一个例子是 KD-Tree,在 Scikit-learn 中实现

注:大 O 记号

大 O 记号是一种方法,描述算法所需操作数量随输入大小增长的变化。为了正确使用它,需要深入研究计算机科学理论的领域,并仔细区分它与相关的小 o 符号,大 $\theta$ 符号,大 $\Omega$ 符号,以及可能的许多变体。

虽然这些区别使算法规模,外部计算机科学理论考试和迂腐的博客评论者的评论更加精确,但你很少会在实践中看到这种区别。

在数据科学领域更常见的是使用不太严格的大 O 记号:作为算法规模的一般(如果不精确)描述。向理论家和学生道歉,这是我们将在本书中使用的解释。

在这种宽松的意义上,大 O 记号会告诉你,在增加数据量时算法将花费多少时间。如果你有一个O(N)(读取N阶)的算法,它在长度为N = 1,000的列表上运行需要 1 秒,那么对于长度N = 5,000,你应该预计大约需要 5 秒。如果你有一个O(N^2)(读取N方阶)的算法,对于N = 1000它需要 1 秒,那么对于N = 5000,你应该预计它需要大约 25 秒。

出于我们的目的,N通常表示数据集大小的某些方面(点数,维数等)。 当试图分析数十亿或数万亿的样本时,O(N)O(N^2)之间的差异可能并不是微不足道!

请注意,大 O 记号本身不会告诉你计算的实际时钟时间,而只会告诉你在更改N时的规模。通常,例如,O(N)算法被认为具有比O(N^2)算法更好的规模,并且有充分的理由。 但是对于小型数据集,规模更好的算法可能不会更快。

例如,在给定问题中,O(N^2)算法可能需要 0.01 秒,而“更好的”O(N)算法可能需要 1 秒。然而,将N按比例放大 1000 倍,O(N)算法将胜出。

在比较算法的性能时,即使是这个松散版本的大 O 记号也非常有用,在讨论算法如何扩展时,我们将在整本书中使用这种记号。

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