在 TensorFlow 中使用内核

先前的 SVM 使用线性可分数据。如果我们分离非线性数据，我们可以改变将线性分隔符投影到数据上的方式。这是通过更改 SVM 损失函数中的内核来完成的。在本章中，我们将介绍如何更改内核并分离非线性可分离数据。

做好准备

在本文中，我们将激励支持向量机中内核的使用。在线性 SVM 部分，我们用特定的损失函数求解了软边界。这种方法的另一种方法是解决所谓的优化问题的对偶。可以证明线性 SVM 问题的对偶性由以下公式给出：

对此，以下适用：

这里，模型中的变量将是b向量。理想情况下，此向量将非常稀疏，仅对我们数据集的相应支持向量采用接近 1 和-1 的值。我们的数据点向量由x[i]表示，我们的目标（1 或 -1）y[i]表示。

前面等式中的内核是点积x[i] · y[j]，它给出了线性内核。该内核是一个方形矩阵，填充了数据点i, j的点积。

我们可以将更复杂的函数扩展到更高的维度，而不是仅仅在数据点之间进行点积，而在这些维度中，类可以是线性可分的。这似乎是不必要的复杂，但我们可以选择一个具有以下属性的函数k：

这里, k被称为核函数。更常见的内核是使用高斯内核（也称为径向基函数内核或 RBF 内核）。该内核用以下等式描述：

为了对这个内核进行预测，比如说p[i]，我们只需在内核中的相应方程中用预测点替换，如下所示：

在本节中，我们将讨论如何实现高斯内核。我们还将在适当的位置记下在何处替换实现线性内核。我们将使用的数据集将手动创建，以显示高斯内核更适合在线性内核上使用的位置。

操作步骤

我们按如下方式处理秘籍：

  1. 首先，我们加载必要的库并启动图会话，如下所示：
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
import tensorflow as tf 
from sklearn import datasets 
sess = tf.Session()
  1. 现在，我们生成数据。我们将生成的数据将是两个同心数据环;每个戒指都属于不同的阶级。我们必须确保类只有-1 或 1。然后我们将数据分成每个类的x和y值以用于绘图目的。为此，请使用以下代码：
(x_vals, y_vals) = datasets.make_circles(n_samples=500, factor=.5, noise=.1) 
y_vals = np.array([1 if y==1 else -1 for y in y_vals]) 
class1_x = [x[0] for i,x in enumerate(x_vals) if y_vals[i]==1] 
class1_y = [x[1] for i,x in enumerate(x_vals) if y_vals[i]==1] 
class2_x = [x[0] for i,x in enumerate(x_vals) if y_vals[i]==-1] 
class2_y = [x[1] for i,x in enumerate(x_vals) if y_vals[i]==-1]
  1. 接下来，我们声明批量大小和占位符，并创建我们的模型变量b。对于 SVM，我们倾向于需要更大的批量大小，因为我们需要一个非常稳定的模型，该模型在每次训练生成时都不会波动很大。另请注意，我们为预测点添加了额外的占位符。为了可视化结果，我们将创建一个颜色网格，以查看哪些区域最后属于哪个类。我们这样做如下：
batch_size = 250 
x_data = tf.placeholder(shape=[None, 2], dtype=tf.float32) 
y_target = tf.placeholder(shape=[None, 1], dtype=tf.float32) 
prediction_grid = tf.placeholder(shape=[None, 2], dtype=tf.float32) 
b = tf.Variable(tf.random_normal(shape=[1,batch_size]))
  1. 我们现在将创建高斯内核。该内核可以表示为矩阵运算，如下所示：
gamma = tf.constant(-50.0) 
dist = tf.reduce_sum(tf.square(x_data), 1) 
dist = tf.reshape(dist, [-1,1]) 
sq_dists = tf.add(tf.subtract(dist, tf.multiply(2., tf.matmul(x_data, tf.transpose(x_data)))), tf.transpose(dist)) 
my_kernel = tf.exp(tf.multiply(gamma, tf.abs(sq_dists)))

注意add和subtract操作的sq_dists行中广播的使用。 另外，请注意线性内核可以表示为my_kernel = tf.matmul(x_data, tf.transpose(x_data))。

  1. 现在，我们宣布了本秘籍中之前所述的双重问题。最后，我们将使用tf.negative()函数最小化损失函数的负值，而不是最大化。我们使用以下代码完成此任务：
model_output = tf.matmul(b, my_kernel) 
first_term = tf.reduce_sum(b) 
b_vec_cross = tf.matmul(tf.transpose(b), b) 
y_target_cross = tf.matmul(y_target, tf.transpose(y_target)) 
second_term = tf.reduce_sum(tf.multiply(my_kernel, tf.multiply(b_vec_cross, y_target_cross))) 
loss = tf.negative(tf.subtract(first_term, second_term))
  1. 我们现在创建预测和准确率函数。首先，我们必须创建一个预测内核，类似于步骤 4，但是我们拥有带有预测数据的点的核心，而不是点的内核。然后预测是模型输出的符号。这实现如下：
rA = tf.reshape(tf.reduce_sum(tf.square(x_data), 1),[-1,1]) 
rB = tf.reshape(tf.reduce_sum(tf.square(prediction_grid), 1),[-1,1]) 
pred_sq_dist = tf.add(tf.subtract(rA, tf.multiply(2., tf.matmul(x_data, tf.transpose(prediction_grid)))), tf.transpose(rB)) 
pred_kernel = tf.exp(tf.multiply(gamma, tf.abs(pred_sq_dist))) 

prediction_output = tf.matmul(tf.multiply(tf.transpose(y_target),b), pred_kernel) 
prediction = tf.sign(prediction_output-tf.reduce_mean(prediction_output)) 
accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(tf.equal(tf.squeeze(prediction), tf.squeeze(y_target)), tf.float32))

为了实现线性预测内核，我们可以编写pred_kernel = tf.matmul(x_data, tf.transpose(prediction_grid))。

  1. 现在，我们可以创建一个优化函数并初始化所有变量，如下所示：
my_opt = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.001) 
train_step = my_opt.minimize(loss) 
init = tf.global_variables_initializer() 
sess.run(init)
  1. 接下来，我们开始训练循环。我们将记录每代的损耗向量和批次精度。当我们运行准确率时，我们必须放入所有三个占位符，但我们输入x数据两次以获得对点的预测，如下所示：
loss_vec = [] 
batch_accuracy = [] 
for i in range(500): 
    rand_index = np.random.choice(len(x_vals), size=batch_size) 
    rand_x = x_vals[rand_index] 
    rand_y = np.transpose([y_vals[rand_index]]) 
    sess.run(train_step, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y}) 

    temp_loss = sess.run(loss, feed_dict={x_data: rand_x, y_target: rand_y}) 
    loss_vec.append(temp_loss) 

    acc_temp = sess.run(accuracy, feed_dict={x_data: rand_x, 
                                             y_target: rand_y, 
                                             prediction_grid:rand_x}) 
    batch_accuracy.append(acc_temp) 

    if (i+1)%100==0: 
        print('Step #' + str(i+1)) 
        print('Loss = ' + str(temp_loss))
  1. 这导致以下输出：
Step #100 
Loss = -28.0772 
Step #200 
Loss = -3.3628 
Step #300 
Loss = -58.862 
Step #400 
Loss = -75.1121 
Step #500 
Loss = -84.8905
  1. 为了查看整个空间的输出类，我们将在系统中创建一个预测点网格，并对所有这些预测点进行预测，如下所示：
x_min, x_max = x_vals[:, 0].min() - 1, x_vals[:, 0].max() + 1 
y_min, y_max = x_vals[:, 1].min() - 1, x_vals[:, 1].max() + 1 
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.02), 
                     np.arange(y_min, y_max, 0.02)) 
grid_points = np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()] 
[grid_predictions] = sess.run(prediction, feed_dict={x_data: x_vals, 
                                                   y_target: np.transpose([y_vals]), 
                                                   prediction_grid: grid_points}) 
grid_predictions = grid_predictions.reshape(xx.shape)
  1. 以下是绘制结果，批次准确率和损失的代码：
plt.contourf(xx, yy, grid_predictions, cmap=plt.cm.Paired, alpha=0.8) 
plt.plot(class1_x, class1_y, 'ro', label='Class 1') 
plt.plot(class2_x, class2_y, 'kx', label='Class -1') 
plt.legend(loc='lower right') 
plt.ylim([-1.5, 1.5]) 
plt.xlim([-1.5, 1.5]) 
plt.show() 

plt.plot(batch_accuracy, 'k-', label='Accuracy') 
plt.title('Batch Accuracy') 
plt.xlabel('Generation') 
plt.ylabel('Accuracy') 
plt.legend(loc='lower right') 
plt.show() 

plt.plot(loss_vec, 'k-') 
plt.title('Loss per Generation') 
plt.xlabel('Generation') 
plt.ylabel('Loss') 
plt.show()

为了简洁起见，我们将仅显示结果图，但我们也可以单独运行绘图代码并查看损失和准确率。

以下屏幕截图说明了线性可分离拟合对我们的非线性数据有多糟糕：

图 7：非线性可分离数据上的线性 SVM

以下屏幕截图显示了高斯内核可以更好地拟合非线性数据：

Figure 8: Non-linear SVM with Gaussian kernel results on non-linear ring data

如果我们使用高斯内核来分离我们的非线性环数据，我们会得到更好的拟合。

工作原理

有两个重要的代码需要了解：我们如何实现内核，以及我们如何为 SVM 双优化问题实现损失函数。我们已经展示了如何实现线性和高斯核，并且高斯核可以分离非线性数据集。

我们还应该提到另一个参数，即高斯核中的伽马值。此参数控制影响点对分离曲率的影响程度。通常选择小值，但它在很大程度上取决于数据集。理想情况下，使用交叉验证等统计技术选择此参数。

对于新点的预测/评估，我们使用以下命令：sess.run(prediction, feed_dict:{x_data: x_vals, y_data: np.transpose([y_vals])})。此评估必须包括原始数据集（x_vals和y_vals），因为 SVM 是使用支持向量定义的，由哪些点指定在边界上或不是。

更多

如果我们这样选择，我们可以实现更多内核。以下是一些更常见的非线性内核列表：

  • 多项式齐次核：

  • 多项式非均匀内核：

  • 双曲正切内核：

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